Bất đẳng thức Côsi là một trong những Một trong những bất đẳng thức cổ điển. Tên và đúng là bất đẳng thức thân vừa phải cộng cùng trung bình nhân, không ít người Call là bất đẳng thức AM – GM (AM là viết tắt của Arithmetic mean cùng GM là viết tắt của Geometric mean). Do bên toán học tập người Pháp Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1857), tín đồ vẫn chỉ dẫn một cách chừng bản thân rực rỡ buộc phải nhiều người dân giỏi call là bất đẳng thức Cauchy.

Bạn đang xem: Các bài toán về bất đẳng thức côsi

Nó áp dụng không hề ít trong các bài xích Toán thù về bất đẳng thức và cực trị. Trong phạm vi công tác Tân oán trung học cơ sở, chúng ta quyên tâm đến các ngôi trường phù hợp riêng của bất đẳng thức Cauchy.


Mục lục ẩn
1. Các dạng màn trình diễn của bất đẳng thức Comê say
a. Dạng tổng quát bất đẳng thức comê man
b) Các bất đẳng thức côđam mê quan trọng
c) Một số bất đẳng thức được suy ra tự bất đẳng thức Cauchy
d) Chụ ý Khi thực hiện bất đẳng thức AM – GM
2. Các dạng bài bác tập
Dạng 1: Vận dụng trực tiếp bất đẳng thức côđắm say
Dạng 2: Kĩ thuật tách, thêm sút, ghép cặp
Dạng 3: Kĩ thuật tmê man số hóa
Dạng 4: Kĩ thuật bất đẳng thức côđắm say ngược vết

1. Các dạng màn trình diễn của bất đẳng thức Cosi

a. Dạng tổng thể bất đẳng thức cosi

Cho x1, x2, x3 ,…, xn là những số thực không âm ta có:

*

Cho x1, x2, x3 ,…, xn là các số thực dương ta có:

*

b) Các bất đẳng thức côđê mê đặc biệt

*


c) Một số bất đẳng thức được suy ra trường đoản cú bất đẳng thức Cauchy

*

d) Chú ý khi áp dụng bất đẳng thức AM – GM

Lúc áp dụng bất đẳng thức cô đê mê thì các số phải là đều số ko âmBất đẳng thức cômê mệt thường được áp dụng Lúc vào BĐT cần chứng minh có tổng và tíchĐiều kiện xảy ra lốt ‘=’ là những số bằng nhauBất đẳng thức cômê man còn tồn tại hình thức dị kì xuất xắc sử dụng

Đối cùng với hai số:

$x^2,,+,y^2,,ge ,,2xy$.$,x^2,,+,y^2,,ge ,,frac(x,+,y)^22$$,xyle ,,left( fracx+y2 ight)^2$

Đối cùng với tía số: $abcle fraca^3+b^3+c^33,,,abcle left( fraca+b+c3 ight)^3$

2. Các dạng bài xích tập

Dạng 1: Vận dụng thẳng bất đẳng thức côsi

Ví dụ: Cho a, b là số dương thỏa mãn nhu cầu a2 + b2 = 2. Chứng minch rằng $left( a+b ight)^5ge 16absqrtleft( 1+a^2 ight)left( 1+b^2 ight)$

Lời giải

*

Dạng 2: Kĩ thuật tách bóc, thêm sút, ghnghiền cặp

Để chứng minh BĐT ta thường xuyên đề nghị biến đổi (nhân phân chia, thêm, sút một biểu thức) nhằm tạo thành biểu thức hoàn toàn có thể giản ước được sau khi vận dụng BĐT côsay mê.Khi gặp BĐT tất cả dạng x + y + z ≥ a + b + c (hoặc xyz ≥ abc), ta thường đi chứng minh x + y ≥ 2a (hoặc ab ≤ x2), phát hành những BĐT tựa như rồi cộng(hoặc nhân) vế cùng với vế ta suy ra điều bắt buộc chứng tỏ.Khi tách bóc với vận dụng BĐT côsay mê ta dựa vào việc bảo vệ lốt bởi xảy ra(hay vệt bởi xảy ra khi các trở thành bằng nhau hoặc tại biên).

Ví dụ: Cho a, b, c là số dương thỏa mãn a + b + c = 3.

Xem thêm: Smart Tivi Led Skyworth 32S810 Giá Rẻ Nhất, Bảng Giá Smart Tivi Led Skyworth 32Inch

Chứng minh rằng 8( a + b )(b + c)(c + a) ≤ (3 + a)(3 + b)(3 + c)

Lời giải

*

Dạng 3: Kĩ thuật tsay mê số hóa

hầu hết lúc không dự đoán được dấu bằng xảy ra(để tách bóc ghép đến vừa lòng lí) chúng ta buộc phải đưa tđắm đuối số vào rồi chọn sau làm sao để cho vết bằng xẩy ra.

Ví dụ: Cho a, b, c là số dương thỏa mãn nhu cầu 2a + 4b + 3c2 = 68. Tìm quý hiếm nhỏ dại nhất của A = a2 + b2 + c3.

Phân tích

*

Lời giải

Áp dụng Bất đẳng thức côyêu thích ta có

*

Dạng 4: Kĩ thuật bất đẳng thức côđê mê ngược dấu

Ví dụ: Cho a, b, c là những số thực ko âm thỏa mãn nhu cầu a2 + b2 + c2 = 1.